# Classical Laver tables up to $A_{5}$ with compatible ordering.

Let $(A_{n},*)=(\{1,…,2^{n},*)$ denote the $n$-th classical Laver table. Let $\pi:A_{n}\rightarrow A_{n-1}$ be the homomorphism defined by $\pi(x)=x$ for $x\leq 2^{n-1}$ and $\pi(x)=x-2^{n-1}$ for $x>2^{n-1}$. Define a linear ordering $\prec_{n}$ on $A_{n}$ for all $n$ by letting $x\prec_{n}y$ if and only if $\pi(x)\prec_{n-1}\pi(y)$ or $\pi(x)=\pi(y),x < y$. Then whenever $x,y,z\in A_{n}$ we have $y\preceq z$ imply that $x*y\preceq x*z$. Let $L:\{1,...,2^{n}\}\rightarrow\{1,...,2^{n}\}$ be the mapping where $x < y$ if and only if $L(x)\prec L(y)$. Then $L$ is an involution (i.e. $L(L(x))=x$). The following are the multiplication tables for the operation $\#$ on $\{1,...,2^{n}\}$ defined by $x\# y=L(L(x)*L(y))$.

 $\#$ 1 2 1 2 2 2 1 2
 $\#$ 1 2 3 4 1 3 3 4 4 2 4 4 4 4 3 2 2 4 4 4 1 2 3 4
 $\#$ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 5 5 6 6 7 7 8 8 2 6 6 6 6 8 8 8 8 3 7 7 7 7 8 8 8 8 4 8 8 8 8 8 8 8 8 5 3 3 4 4 7 7 8 8 6 4 4 4 4 8 8 8 8 7 2 2 4 4 6 6 8 8 8 1 2 3 4 5 6 7 8
 $\#$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 9 9 9 9 12 12 12 12 14 14 14 14 16 16 16 16 2 10 10 10 10 12 12 12 12 14 14 14 14 16 16 16 16 3 11 11 11 11 12 12 12 12 15 15 15 15 16 16 16 16 4 12 12 12 12 12 12 12 12 16 16 16 16 16 16 16 16 5 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 15 16 16 16 16 6 14 14 14 14 14 14 14 14 16 16 16 16 16 16 16 16 7 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 8 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 9 5 5 5 5 8 8 8 8 14 14 14 14 16 16 16 16 10 6 6 6 6 8 8 8 8 14 14 14 14 16 16 16 16 11 7 7 7 7 8 8 8 8 15 15 15 15 16 16 16 16 12 8 8 8 8 8 8 8 8 16 16 16 16 16 16 16 16 13 3 3 4 4 7 7 8 8 11 11 12 12 15 15 16 16 14 4 4 4 4 8 8 8 8 12 12 12 12 16 16 16 16 15 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
 $\#$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 1 17 17 17 17 18 18 18 18 23 23 23 23 24 24 24 24 27 27 27 27 28 28 28 28 31 31 31 31 32 32 32 32 2 18 18 18 18 18 18 18 18 24 24 24 24 24 24 24 24 28 28 28 28 28 28 28 28 32 32 32 32 32 32 32 32 3 19 19 19 19 19 19 19 19 24 24 24 24 24 24 24 24 28 28 28 28 28 28 28 28 32 32 32 32 32 32 32 32 4 20 20 20 20 20 20 20 20 24 24 24 24 24 24 24 24 28 28 28 28 28 28 28 28 32 32 32 32 32 32 32 32 5 21 21 21 21 21 21 21 21 24 24 24 24 24 24 24 24 30 30 30 30 30 30 30 30 32 32 32 32 32 32 32 32 6 22 22 22 22 22 22 22 22 24 24 24 24 24 24 24 24 30 30 30 30 30 30 30 30 32 32 32 32 32 32 32 32 7 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 8 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 9 25 25 25 25 26 26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 29 30 30 30 30 31 31 31 31 32 32 32 32 10 26 26 26 26 26 26 26 26 28 28 28 28 28 28 28 28 30 30 30 30 30 30 30 30 32 32 32 32 32 32 32 32 11 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 12 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 13 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 14 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 15 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 16 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 17 9 9 9 9 10 10 10 10 15 15 15 15 16 16 16 16 27 27 27 27 28 28 28 28 31 31 31 31 32 32 32 32 18 10 10 10 10 10 10 10 10 16 16 16 16 16 16 16 16 28 28 28 28 28 28 28 28 32 32 32 32 32 32 32 32 19 11 11 11 11 11 11 11 11 16 16 16 16 16 16 16 16 28 28 28 28 28 28 28 28 32 32 32 32 32 32 32 32 20 12 12 12 12 12 12 12 12 16 16 16 16 16 16 16 16 28 28 28 28 28 28 28 28 32 32 32 32 32 32 32 32 21 13 13 13 13 13 13 13 13 16 16 16 16 16 16 16 16 30 30 30 30 30 30 30 30 32 32 32 32 32 32 32 32 22 14 14 14 14 14 14 14 14 16 16 16 16 16 16 16 16 30 30 30 30 30 30 30 30 32 32 32 32 32 32 32 32 23 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 24 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 25 5 5 6 6 7 7 8 8 13 13 14 14 15 15 16 16 21 21 22 22 23 23 24 24 29 29 30 30 31 31 32 32 26 6 6 6 6 8 8 8 8 14 14 14 14 16 16 16 16 22 22 22 22 24 24 24 24 30 30 30 30 32 32 32 32 27 7 7 7 7 8 8 8 8 15 15 15 15 16 16 16 16 23 23 23 23 24 24 24 24 31 31 31 31 32 32 32 32 28 8 8 8 8 8 8 8 8 16 16 16 16 16 16 16 16 24 24 24 24 24 24 24 24 32 32 32 32 32 32 32 32 29 3 3 4 4 7 7 8 8 11 11 12 12 15 15 16 16 19 19 20 20 23 23 24 24 27 27 28 28 31 31 32 32 30 4 4 4 4 8 8 8 8 12 12 12 12 16 16 16 16 20 20 20 20 24 24 24 24 28 28 28 28 32 32 32 32 31 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 28 30 30 32 32 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32