# The full classical Laver tables up to $A_{5}$

 $*$ 1 1 1
 $*$ 1 2 1 2 2 2 1 2
 $*$ 1 2 3 4 1 2 4 2 4 2 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4 1 2 3 4
 $*$ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 4 6 8 2 4 6 8 2 3 4 7 8 3 4 7 8 3 4 8 4 8 4 8 4 8 4 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 8 6 8 6 8 6 8 6 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 1 2 3 4 5 6 7 8
 $*$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 12 14 16 2 12 14 16 2 12 14 16 2 12 14 16 2 3 12 15 16 3 12 15 16 3 12 15 16 3 12 15 16 3 4 8 12 16 4 8 12 16 4 8 12 16 4 8 12 16 4 5 6 7 8 13 14 15 16 5 6 7 8 13 14 15 16 5 6 8 14 16 6 8 14 16 6 8 14 16 6 8 14 16 6 7 8 15 16 7 8 15 16 7 8 15 16 7 8 15 16 7 8 16 8 16 8 16 8 16 8 16 8 16 8 16 8 16 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 10 11 12 13 14 15 16 9 10 12 14 16 10 12 14 16 10 12 14 16 10 12 14 16 10 11 12 15 16 11 12 15 16 11 12 15 16 11 12 15 16 11 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 16 14 16 14 16 14 16 14 16 14 16 14 16 14 16 14 15 16 15 16 15 16 15 16 15 16 15 16 15 16 15 16 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
 $*$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 1 2 12 14 16 18 28 30 32 2 12 14 16 18 28 30 32 2 12 14 16 18 28 30 32 2 12 14 16 18 28 30 32 2 3 12 15 16 19 28 31 32 3 12 15 16 19 28 31 32 3 12 15 16 19 28 31 32 3 12 15 16 19 28 31 32 3 4 8 12 16 20 24 28 32 4 8 12 16 20 24 28 32 4 8 12 16 20 24 28 32 4 8 12 16 20 24 28 32 4 5 6 7 8 13 14 15 16 21 22 23 24 29 30 31 32 5 6 7 8 13 14 15 16 21 22 23 24 29 30 31 32 5 6 24 30 32 6 24 30 32 6 24 30 32 6 24 30 32 6 24 30 32 6 24 30 32 6 24 30 32 6 24 30 32 6 7 24 31 32 7 24 31 32 7 24 31 32 7 24 31 32 7 24 31 32 7 24 31 32 7 24 31 32 7 24 31 32 7 8 16 24 32 8 16 24 32 8 16 24 32 8 16 24 32 8 16 24 32 8 16 24 32 8 16 24 32 8 16 24 32 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 26 27 28 29 30 31 32 9 10 11 12 13 14 15 16 25 26 27 28 29 30 31 32 9 10 28 30 32 10 28 30 32 10 28 30 32 10 28 30 32 10 28 30 32 10 28 30 32 10 28 30 32 10 28 30 32 10 11 28 31 32 11 28 31 32 11 28 31 32 11 28 31 32 11 28 31 32 11 28 31 32 11 28 31 32 11 28 31 32 11 12 16 28 32 12 16 28 32 12 16 28 32 12 16 28 32 12 16 28 32 12 16 28 32 12 16 28 32 12 16 28 32 12 13 14 15 16 29 30 31 32 13 14 15 16 29 30 31 32 13 14 15 16 29 30 31 32 13 14 15 16 29 30 31 32 13 14 16 30 32 14 16 30 32 14 16 30 32 14 16 30 32 14 16 30 32 14 16 30 32 14 16 30 32 14 16 30 32 14 15 16 31 32 15 16 31 32 15 16 31 32 15 16 31 32 15 16 31 32 15 16 31 32 15 16 31 32 15 16 31 32 15 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 32 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 17 18 28 30 32 18 28 30 32 18 28 30 32 18 28 30 32 18 28 30 32 18 28 30 32 18 28 30 32 18 28 30 32 18 19 28 31 32 19 28 31 32 19 28 31 32 19 28 31 32 19 28 31 32 19 28 31 32 19 28 31 32 19 28 31 32 19 20 24 28 32 20 24 28 32 20 24 28 32 20 24 28 32 20 24 28 32 20 24 28 32 20 24 28 32 20 24 28 32 20 21 22 23 24 29 30 31 32 21 22 23 24 29 30 31 32 21 22 23 24 29 30 31 32 21 22 23 24 29 30 31 32 21 22 24 30 32 22 24 30 32 22 24 30 32 22 24 30 32 22 24 30 32 22 24 30 32 22 24 30 32 22 24 30 32 22 23 24 31 32 23 24 31 32 23 24 31 32 23 24 31 32 23 24 31 32 23 24 31 32 23 24 31 32 23 24 31 32 23 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 32 24 25 26 27 28 29 30 31 32 25 26 27 28 29 30 31 32 25 26 27 28 29 30 31 32 25 26 27 28 29 30 31 32 25 26 28 30 32 26 28 30 32 26 28 30 32 26 28 30 32 26 28 30 32 26 28 30 32 26 28 30 32 26 28 30 32 26 27 28 31 32 27 28 31 32 27 28 31 32 27 28 31 32 27 28 31 32 27 28 31 32 27 28 31 32 27 28 31 32 27 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 32 28 29 30 31 32 29 30 31 32 29 30 31 32 29 30 31 32 29 30 31 32 29 30 31 32 29 30 31 32 29 30 31 32 29 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 32 30 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

The following table $(\{0,…,2^{n}-1\},*)$ with $n=5$ is the backwards classical Laver table. The mapping $i\mapsto 2^{n}-i$ is an isomorphism between the classical Laver table and the backwards classical Laver table.

 $*$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 3 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 4 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 5 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 6 0 1 4 5 0 1 4 5 0 1 4 5 0 1 4 5 0 1 4 5 0 1 4 5 0 1 4 5 0 1 4 5 7 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 9 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 10 0 1 8 9 0 1 8 9 0 1 8 9 0 1 8 9 0 1 8 9 0 1 8 9 0 1 8 9 0 1 8 9 11 0 2 8 10 0 2 8 10 0 2 8 10 0 2 8 10 0 2 8 10 0 2 8 10 0 2 8 10 0 2 8 10 12 0 1 2 3 8 9 10 11 0 1 2 3 8 9 10 11 0 1 2 3 8 9 10 11 0 1 2 3 8 9 10 11 13 0 4 8 12 0 4 8 12 0 4 8 12 0 4 8 12 0 4 8 12 0 4 8 12 0 4 8 12 0 4 8 12 14 0 1 4 13 0 1 4 13 0 1 4 13 0 1 4 13 0 1 4 13 0 1 4 13 0 1 4 13 0 1 4 13 15 0 2 4 14 0 2 4 14 0 2 4 14 0 2 4 14 0 2 4 14 0 2 4 14 0 2 4 14 0 2 4 14 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 0 16 18 0 1 16 17 0 1 16 17 0 1 16 17 0 1 16 17 0 1 16 17 0 1 16 17 0 1 16 17 0 1 16 17 19 0 2 16 18 0 2 16 18 0 2 16 18 0 2 16 18 0 2 16 18 0 2 16 18 0 2 16 18 0 2 16 18 20 0 1 2 3 16 17 18 19 0 1 2 3 16 17 18 19 0 1 2 3 16 17 18 19 0 1 2 3 16 17 18 19 21 0 4 16 20 0 4 16 20 0 4 16 20 0 4 16 20 0 4 16 20 0 4 16 20 0 4 16 20 0 4 16 20 22 0 1 4 21 0 1 4 21 0 1 4 21 0 1 4 21 0 1 4 21 0 1 4 21 0 1 4 21 0 1 4 21 23 0 2 4 22 0 2 4 22 0 2 4 22 0 2 4 22 0 2 4 22 0 2 4 22 0 2 4 22 0 2 4 22 24 0 1 2 3 4 5 6 7 16 17 18 19 20 21 22 23 0 1 2 3 4 5 6 7 16 17 18 19 20 21 22 23 25 0 8 16 24 0 8 16 24 0 8 16 24 0 8 16 24 0 8 16 24 0 8 16 24 0 8 16 24 0 8 16 24 26 0 1 8 25 0 1 8 25 0 1 8 25 0 1 8 25 0 1 8 25 0 1 8 25 0 1 8 25 0 1 8 25 27 0 2 8 26 0 2 8 26 0 2 8 26 0 2 8 26 0 2 8 26 0 2 8 26 0 2 8 26 0 2 8 26 28 0 1 2 3 8 9 10 11 16 17 18 19 24 25 26 27 0 1 2 3 8 9 10 11 16 17 18 19 24 25 26 27 29 0 4 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 16 20 24 28 30 0 1 4 13 16 17 20 29 0 1 4 13 16 17 20 29 0 1 4 13 16 17 20 29 0 1 4 13 16 17 20 29 31 0 2 4 14 16 18 20 30 0 2 4 14 16 18 20 30 0 2 4 14 16 18 20 30 0 2 4 14 16 18 20 30